Velocitàè definita come la velocità di un oggetto in una data direzione. In molte situazioni comuni, per trovare la velocità, usiamo l'equazione v = s / t, dove v è uguale alla velocità, s è uguale allo spostamento totale dalla posizione iniziale dell'oggetto e t è il tempo trascorso. Tuttavia, questo tecnicamente dà solo l'oggetto media velocità sul suo percorso. Utilizzando il calcolo, è possibile calcolare la velocità di un oggetto in qualsiasi momento lungo il suo percorso. Questo è chiamato velocità istantanea ed è definito dall'equazione v = (ds) / (dt) , o, in altre parole, la derivata dell'oggettovelocità mediaequazione.
Passi
Parte uno di 3: Calcolo della velocità istantanea
- uno Inizia con un'equazione per la velocità in termini di spostamento. Per ottenere la velocità istantanea di un oggetto, dobbiamo prima avere un'equazione che ci dica la sua posizione (in termini di spostamento) in un determinato momento. Ciò significa che l'equazione deve avere la variabile S da un lato da solo e t dall'altro (ma non necessariamente da solo), in questo modo:
s = -1,5 t2+ 10t + 4
cinghia di supporto per la parte superiore del braccio
- In questa equazione, le variabili sono:
- Spostamento = s . La distanza percorsa dall'oggetto dalla sua posizione iniziale. Ad esempio, se un oggetto va 10 metri in avanti e 7 metri indietro, il suo spostamento totale è di 10 - 7 = 3 metri (non 10 + 7 = 17 metri).
- Tempo = t . Auto esplicativo. Tipicamente misurato in secondi.
- In questa equazione, le variabili sono:
- 2 Prendi la derivata dell'equazione. Ilderivatodi un'equazione è solo un'altra equazione che ti dice la sua pendenza in un dato punto nel tempo. Per trovare la derivata della tua formula di spostamento, differenzia la funzione con questa regola generale per la ricerca delle derivate: Se y = a * xn, Derivata = a * n * xn-1 Questa regola viene applicata a tutti i termini sul lato 't' dell'equazione.
- In altre parole, inizia passando il lato 't' dell'equazione da sinistra a destra. Ogni volta che raggiungi una 't', sottrai 1 dall'esponente e moltiplica l'intero termine per l'esponente originale. Tutti i termini costanti (termini che non contengono 't') scompariranno perché vengono moltiplicati per 0. Questo processo non è in realtà così difficile come sembra - deriviamo l'equazione nel passaggio precedente come esempio:
s = -1,5 t2+ 10t + 4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10tundici+ (0) 4p0
-3тuno+ 10t0
-3t + 10
- In altre parole, inizia passando il lato 't' dell'equazione da sinistra a destra. Ogni volta che raggiungi una 't', sottrai 1 dall'esponente e moltiplica l'intero termine per l'esponente originale. Tutti i termini costanti (termini che non contengono 't') scompariranno perché vengono moltiplicati per 0. Questo processo non è in realtà così difficile come sembra - deriviamo l'equazione nel passaggio precedente come esempio:
- 3 Sostituisci 's' con 'ds / dt. 'Per mostrare che la nostra nuova equazione è una derivata della prima, sostituiamo' s 'con la notazione' ds / dt '. Tecnicamente, questa notazione significa 'la derivata di s rispetto a t'. Un modo più semplice per pensare a questo è semplicemente che ds / dt è solo la pendenza di un dato punto nella prima equazione. Ad esempio, per trovare la pendenza della linea composta da s = -1,5t2+ 10t + 4 at = 5, dovremmo semplicemente inserire '5' nella sua derivata t.
- Nel nostro esempio in esecuzione, la nostra equazione finale dovrebbe ora assomigliare a questa:
ds / dt = -3t + 10
- Nel nostro esempio in esecuzione, la nostra equazione finale dovrebbe ora assomigliare a questa:
- 4 Inserisci un valore t per la tua nuova equazione per trovare la velocità istantanea. Ora che hai la tua equazione derivativa, trovare la velocità istantanea in qualsiasi momento è facile. Tutto quello che devi fare è scegliere un valore per te inserirlo nella tua equazione derivativa. Ad esempio, se vogliamo trovare la velocità istantanea at = 5, dovremmo semplicemente sostituire '5' con t nella derivata ds / dt = -3 + 10. Quindi, risolveremmo semplicemente l'equazione in questo modo:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secondo- Nota che usiamo l'etichetta 'metri / secondo' sopra. Dato che abbiamo a che fare con lo spostamento in termini di metri e il tempo in termini di secondi e la velocità in generale è solo spostamento nel tempo, questa etichetta è appropriata.
Parte 2 di 3: Stima grafica della velocità istantanea
- uno Rappresenta graficamente lo spostamento del tuo oggetto nel tempo. Nella sezione precedente, abbiamo detto che le derivate sono solo formule che ci permettono di trovare la pendenza in qualsiasi punto dell'equazione per cui prendi la derivata. Infatti, se rappresenti lo spostamento di un oggetto con una linea su un grafico, la pendenza della linea in un dato punto è uguale alla velocità istantanea dell'oggetto in quel punto.
- Per rappresentare graficamente lo spostamento di un oggetto, utilizzare l'asse x per rappresentare il tempo e l'asse y per rappresentare lo spostamento. Quindi, solopunti della tramainserendo i valori per t nell'equazione di spostamento, ottenendo i valori s per le risposte e contrassegnando i punti t, s (x, y) sul grafico.
- Nota che il grafico può estendersi al di sotto dell'asse x. Se la linea che rappresenta il movimento del tuo oggetto scende sotto l'asse x, questo rappresenta il tuo oggetto che si muove dietro a dove è iniziato. In genere, il grafico non si estende dietro l'asse y: spesso non misuriamo la velocità per gli oggetti che si muovono indietro nel tempo!
- 2 Scegli un punto P e un punto Q vicino ad esso sulla linea. Per trovare la pendenza di una linea in un singolo punto P, utilizziamo un trucco chiamato 'prendere un limite'. Prendere un limite implica prendere due punti (P, più Q, un punto vicino ad esso) sulla linea curva e trovare la pendenza della linea che li collega più e più volte man mano che la distanza tra P e Q si riduce.
- Diciamo che la nostra retta di spostamento contiene i punti (1,3) e (4,7). In questo caso, se vogliamo trovare la pendenza a (1,3), possiamo impostare (1,3) = P e (4.7) = Q .
- 3 Trova la pendenza tra P e Q. La pendenza tra P e Q è la differenza dei valori y per P e Q rispetto alla differenza dei valori x per P e Q. In altre parole, H = (eQ- YP) / (XQ- XP) , dove H è la pendenza tra i due punti. Nel nostro esempio, la pendenza tra P e Q è:
H = (eQ- YP) / (XQ- XP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
- 4 Ripeti più volte, spostando Q più vicino a P. Il tuo obiettivo qui è ridurre la distanza tra P e Q finché non si avvicina a un singolo punto. Più piccola è la distanza tra P e Q, più la pendenza dei tuoi piccoli segmenti di linea sarà vicina alla pendenza nel punto P. Facciamolo alcune volte per la nostra equazione di esempio, usando i punti (2,4.8), (1.5 , 3.95) e (1.25,3.49) per Q e il nostro punto originale di (1,3) per P:
Q = (2,4.8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1.5,3.95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9
Q = (1.25,3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1.96 - 5 Stimare la pendenza per un intervallo infinitamente piccolo sulla linea. Man mano che Q si avvicina sempre più a P, H si avvicina sempre di più alla pendenza nel punto P. Alla fine, a un intervallo infinitamente piccolo, H sarà uguale alla pendenza in P. Perché non siamo in grado di misurare o calcolare un infinito piccolo intervallo, stimiamo solo la pendenza in P una volta che è chiara dai punti che abbiamo provato.
- Nel nostro esempio, spostando Q più vicino a P, abbiamo ottenuto valori di 1,8, 1,9 e 1,96 per H. Poiché questi numeri sembrano avvicinarsi a 2, possiamo dire che 2 è una buona stima per la pendenza a P.
- Ricorda che la pendenza in un dato punto su una linea è uguale alla derivata dell'equazione della linea in quel punto. Poiché la nostra linea mostra lo spostamento del nostro oggetto nel tempo e, come abbiamo visto nella sezione precedente, la velocità istantanea di un oggetto è la derivata del suo spostamento in un dato punto, possiamo anche dire che 2 metri / secondo è una buona stima per la velocità istantanea at = 1.
Parte 3 di 3: Problemi di esempio
- uno Trova la velocità istantanea in t = 4 data l'equazione di spostamento s = 5t3- 3t2+ 2t + 9. Questo è proprio come il nostro esempio nella prima sezione, tranne per il fatto che abbiamo a che fare con un'equazione cubica piuttosto che con un'equazione quadratica, quindi possiamo risolverla allo stesso modo.
- Per prima cosa, prenderemo la derivata della nostra equazione:
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1)- (2) 3p(ventuno)+ (1) 2t(1-1) + (0) 9t0 - 1
15t(2)- 6t(uno)+ 2t(0)
15t(2)- 6t + 2fascia per gomito del tennista aircast
- Quindi, inseriremo il nostro valore per t (4):
s = 15t(2)- 6t + 2
15 (4)(2)- 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 metri / secondo
- Per prima cosa, prenderemo la derivata della nostra equazione:
- 2 Utilizzare la stima grafica per trovare la velocità istantanea a (1,3) per l'equazione di spostamento s = 4t2- t. Per questo problema, useremo (1,3) come nostro punto P, ma dovremo trovare alcuni altri punti vicino ad esso da usare come nostri punti Q. Quindi, è solo questione di trovare i nostri valori H e fare una stima.
- Per prima cosa, troviamo i punti Q in t = 2, 1.5, 1.1 e 1.01.
s = 4t2- t
t = 2: s = 4 (2)2- (Due)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, quindi Q = (2,14)
t = 1.5: s = 4 (1,5)2- (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, quindi Q = (1.5,7.5)
t = 1,1: s = 4 (1,1)2- (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, quindi Q = (1.1,3.74)
t = 1,01: s = 4 (1,01)2- (1.01)
4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, quindi Q = (1.01,3.0704) - Quindi, otteniamo i nostri valori H:
Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = undici
Q = (1.5,7.5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (. 5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1.01,3.0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04 - Poiché i nostri valori H sembrano avvicinarsi molto a 7, possiamo dirlo 7 metri / secondo è una buona stima per la velocità istantanea a (1,3).
- Per prima cosa, troviamo i punti Q in t = 2, 1.5, 1.1 e 1.01.
Domande e risposte della comunità
Ricerca Aggiungi nuova domanda- Domanda Qual è la differenza tra velocità istantanea e media? L'istante è in quel momento, mentre la media è la media dell'intero arco di tempo.
- Domanda Come si calcola l'accelerazione istantanea? L'accelerazione istantanea può essere considerata come il valore della derivata della velocità istantanea. Ad esempio: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Se vogliamo conoscere l'accelerazione istantanea at = 4, quindi a (4) = 30 * 4-6 = 114 m / (s ^ 2)
- Domanda Quando la velocità istantanea e la velocità media sono uguali? La velocità istantanea ti dice la velocità di un oggetto in un singolo momento nel tempo. Se l'oggetto si muove con una velocità costante, la velocità media e la velocità istantanea saranno le stesse. In tutte le situazioni, è probabile che non siano le stesse.
- Come posso trovare la velocità zero tra due volte? Risposta
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- Come calcolo 5t + 12t ^ 2? Risposta
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Suggerimenti
- Per trovare l'accelerazione (il cambiamento di velocità nel tempo), usa il metodo nella prima parte per ottenere un'equazione derivativa per la tua funzione di spostamento. Quindi, prendi un'altra derivata, questa volta della tua equazione derivativa. Questo ti darà un'equazione per trovare l'accelerazione in un dato momento: tutto ciò che devi fare è inserire il tuo valore per il tempo.
- L'equazione che mette in relazione Y (spostamento) con X (tempo) potrebbe essere molto semplice, come, ad esempio, Y = 6x + 3. In questo caso la pendenza è costante e non è necessario trovare una derivata per trovare la pendenza, ovvero, seguendo il modello base Y = mx + b per grafici lineari, 6.
- Lo spostamento è come la distanza ma ha una direzione impostata, questo rende lo spostamento un vettore e la velocità uno scalare. Lo spostamento può essere negativo mentre la distanza sarà solo positiva.
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